Guía docente de Álgebra Lineal y Geometría (2481114)

• Se requiere habilidad en el cálculo matricial y en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
• En el caso de utilizar herramientas de IA para el desarrollo de la asignatura, el estudiante debe adoptar un uso ético y responsable de las mismas. Se deben seguir las recomendaciones contenidas en el documento de "Recomendaciones para el uso de la inteligencia artificial en la UGR" publicado en esta ubicación: https://ceprud.ugr.es/formacion-tic/inteligencia-artificial/recomendaciones-ia#contenido0

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Espacio vectorial y espacio vectorial euclídeo. Aplicaciones lineales y aplicaciones ortogonales. Espacio afín y espacio afín euclídeo. Isometrías. Cónicas y cuádricas.

Aptitud para utilizar los conocimientos aplicados relacionados con el álgebra lineal y la geometría analítica.

1. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

• Matrices. Cálculo matricial. Matrices escalonadas y escalonadas reducidas. Transformaciones elementales por filas. Matrices equivalentes por filas. Rango. Determinante de una matriz. Matriz regular. Matriz inversa.
• Sistemas de ecuaciones lineales. Teorema de Rouché-Frobenius. Método de Gauss.

2. Espacio vectorial y espacio vectorial euclídeo

• Espacio vectorial. Combinación lineal. Dependencia e independencia lineales. Sistema de generadores. Base y dimensión de un espacio vectorial. Coordenadas. Cambio de base. Subespacio vectorial. Ecuaciones paramétricas e implícitas de un subespacio vectorial finito dimensional.
• Producto escalar. Espacio vectorial euclídeo. Base ortogonal y base ortonormal. Método de ortogonalización de Gram-Schmidt. Complemento ortogonal de un subespacio vectorial. Proyección ortogonal sobre un subespacio. Teorema de la mejor aproximación. Aproximación por mínimos cuadrados.

3. Aplicaciones e isometrías lineales

• Concepto de aplicación lineal. Isometrías lineales en R2 y R3.

4. Diagonalización

• Valores y vectores propios. Matrices diagonalizables por semejanza. Diagonalización por semejanza ortogonal de matrices simétricas. Aplicaciones.

5. Espacio afín y espacio afín euclídeo. Cónicas y cuádricas

• Noción de espacio afín. Sistema de referencia. Cambio de sistema de referencia. Subespacios afines. Concepto de espacio afín euclídeo. Distancia y proyección ortogonal. Isometrías afines. Clasificación de las isometrías afines en el plano y en el espacio afines euclídeos.
• Definición de cónica. Ecuaciones de las cónicas. Clasificación. Cálculo de la forma reducida.
• Definición de cuádrica. Ecuaciones de las cuádricas. Clasificación. Cálculo de la forma reducida.

Práctica 1. Introducción al software a emplear.
Práctica 2. Matrices.
Práctica 3. Sistemas de ecuaciones lineales.
Práctica 4. Espacios vectoriales y espacios vectoriales euclídeos.
Práctica 5. Aproximación por mínimos cuadrados.
Práctica 6: Aplicaciones e isometrías lineales.
Práctica 7. Diagonalización de matrices.
Práctica 8. Espacio afín. Cónicas y cuádricas.

Para las prácticas con ordenador se utilizará software matemático a elección de la profesora o el profesor.

• M. I. Berenguer, D. Gámez, Álgebra Lineal y Geometría. Teoría y Problemas, segunda edición, Editorial Técnica Avicam, Granada, 2025.
• M. I. Berenguer, D. Gámez, Cuaderno de Prácticas de Álgebra Lineal y Geometría con Maxima, tercera edición, Editorial Técnica Avicam, Granada, 2025.
• A. Jeffrey, Matrix operations for engineers and scientists, An essential guide in linear algebra, Springer, Dordrecht, 2010.
• L. M. Merino, E. Santos, Álgebra Lineal con métodos elementales, Thomson, Madrid, 2006.
• P. J. Olver, C. Shakiban, Applied Linear Algebra, second edition, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, Cham, 2018.
• T. S. Shores, Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, second edition, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, Cham, 2018.

• J. Angeles, D. Pasini, Fundamentals of Geometry Construction. The Math behind the CAD, Springer Tracts in Mechanical Engineering, Springer, Cham, 2020.
• H. Anton, C. Rorres, A. Kaul, Elementary Linear Algebra, Applications Version, 12th edition, Wiley, 2019.
• G. Landi, A. Zampini, Linear Algebra and Analytic Geometry for Physical Sciences, Undergraduate Lecture Notes in Physics, Springer, Cham, 2018.
• R. B. Larson, R. P. Hostetler, B. Edwards, Cálculo y Geometría Analítica. Vol. I y II, octava edición, McGraw-Hill, Madrid, 2005.

• https://prado.ugr.es/
• https://mateapli.ugr.es/
• https://grados.ugr.es/civil

• MD01. Exposiciones en clase del docente. Podrán ser: 1) Lección magistral: presentación de conceptos teóricos y desarrollo de contenidos; 2) Clases de problemas: resolución de supuestos prácticos;3) Seminarios: ampliación y profundización en aspectos concretos;4) Aula invertida: transferencia del proceso de aprendizaje fuera de la clase. Se motivará al estudiantado a la reflexión, para el descubrimiento de las relaciones entre conceptos y tratando de formarle mentalidad crítica; se fomentará la participación y el debate; se optimizará el tiempo presencial para facilitar y potenciar otros procesos de adquisición y práctica de conocimientos y competencias.
• MD02. Prácticas bajo supervisión del docente. Podrán ser: 1) En aula: resolución de casos analítica o numéricamente; 2) De laboratorio: supuestos reales; 3) De campo: visitas en grupo a obra, instalaciones y empresas; 4) Aprendizaje basado en proyectos o casos prácticos. El estudiantado adquirirá las destrezas y competencias necesarias para la aplicación de conocimientos; desarrollará habilidades instrumentales y competencias prácticas; contextualizará conocimientos y su implantación; aprenderá a resolver problemas.
• MD03. Trabajos de forma no presencial. Actividades propuestas por el docente para realizar individualmente o en grupo. Los estudiantes presentarán en público, desarrollando las habilidades, destrezas y competencias transversales de la materia; mejorarán el aprendizaje cooperativo, mediante la interacción entre estudiantes, y con el docente con un enfoque interactivo de organización del trabajo.
• MD04. Tutorías académicas. Personalizadas o en grupo donde el docente supervisará el desarrollo del trabajo no presencial, reorientará a los estudiantes en aspectos que detecte y aconsejará sobre bibliografía.
• MD05. Exámenes. Actividad que podrá formar parte del procedimiento de evaluación.

Atendiendo a la Normativa de Evaluación y de Calificación de los estudiantes de la Universidad de Granada, para esta asignatura se propone tanto una evaluación continua como otra única final.

Por defecto, todos los alumnos seguirán el sistema de evaluación continua, salvo que soliciten lo contrario, en tiempo y forma, a la directora del Departamento de Matemática Aplicada.

Se realizarán las siguientes actividades de evaluación atendiendo a la planificación y puntuaciones máximas que se describen a continuación:

• Entrega y defensa oral de cuaderno de trabajo correspondiente a los Temas 1 y 2 de teoría y problemas: 2 puntos.
• Examen oral de los Temas 1 y 2: 2 puntos.
• Examen de prácticas con ordenador: 2.5 puntos.
• Examen final de teoría y problemas de toda la asignatura (oral y/o escrito): 3.5 puntos.

La entrega y defensa oral del cuaderno de trabajo y el examen de prácticas se realizarán durante el periodo docente (periodo de impartición de clases), mientras que el examen final de teoría y problemas se realizará el día fijado en el Plan Docente de la E.T.S. de Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos para la convocatoria ordinaria de esta asignatura.

Para aprobar la asignatura mediante la evaluación continua será necesario obtener al menos 5 puntos, sobre un total de 10, al sumar las calificaciones obtenidas en todos los exámenes y pruebas mencionados anteriormente.

Cualquier actividad de evaluación podrá complementarse con entrevistas por parte del profesorado sobre dicha actividad. Las explicaciones dadas en esas entrevistas serán vinculantes a la hora de calificar las actividades realizadas.

La evaluación única final se describe en el apartado correspondiente de esta guía.

La evaluación extraordinaria consiste en un único examen valorado sobre 10 puntos, que tendrá lugar el día fijado en el calendario de exámenes de la E.T.S. de Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos para la convocatoria extraordinaria de esta asignatura. Estará compuesto por:

• una prueba escrita de teoría y problemas correspondiente a todo el temario, y defensa oral de la misma (puntuación máxima de 7.5) y
• una prueba escrita relativa a las prácticas con ordenador (puntuación máxima de 2.5).

Para aprobar la asignatura será necesario obtener al menos 5 puntos, sobre un total de 10, al sumar las calificaciones obtenidas en las dos pruebas. No se guardará ninguna calificación de la evaluación continua, ni de la evaluación única final, para la convocatoria extraordinaria.

Todo estudiante tiene la opción de Evaluación Extraordinaria por Tribunal, previa solicitud del estudiante, según la NECEUG. En este supuesto, se adoptará el mismo proceso de realización y valoración ponderada, de las pruebas de Evaluación Única Final descritas en esta Guía Docente, para que el estudiante acredite que ha adquirido la totalidad de las competencias programadas en ella, con la salvedad de que no participarán en su proposición, control, ni evaluación los profesores de la asignatura implicados.

Cualquier actividad de evaluación podrá complementarse con entrevistas por parte del profesorado sobre dicha actividad. Las explicaciones dadas en esas entrevistas serán vinculantes a la hora de calificar las actividades realizadas.

Aquellos estudiantes que soliciten esta modalidad, serán evaluados con un único examen que se referirá a todo el programa de la asignatura y que constará de dos pruebas:

• Una prueba oral de teoría y problemas y prácticas con ordenador (con una puntuación máxima de 6.5 puntos).
• Una prueba de teoría y problemas escrita (con una puntuación máxima de 3.5 puntos).

Para aprobar la asignatura será necesario obtener al menos 5 puntos, sobre un total de 10, al sumar las calificaciones obtenidas en las dos pruebas.

Cualquier actividad de evaluación podrá complementarse con entrevistas por parte del profesorado sobre dicha actividad. Las explicaciones dadas en esas entrevistas serán vinculantes
a la hora de calificar las actividades realizadas.

Para garantizar el correcto funcionamiento de la asignatura, es necesario que los/las estudiantes respeten las siguientes normas:

Durante el desarrollo de las clases:

• Ser estrictamente puntuales a la hora de comienzo de las clases.
• Tener los teléfonos móviles desconectados.

Durante el desarrollo de los exámenes:

• Identificarse con su DNI, TIE o TUI.
• Realizar los exámenes con bolígrafo azul o negro.
• Está totalmente prohibido utilizar libros, apuntes, notas, grabaciones, etc. También está prohibido comunicarse con los compañeros u otras personas, directamente o a través de cualquier medio.
• Los teléfonos móviles, u otros dispositivos electrónicos, deberán permanecer apagados y dentro de la mochila durante la realización del examen. Caso de infringir esta norma será considerado como acto de copia y se aplicarán las sanciones correspondientes. Con el fin de asegurar que no se están utilizando audífonos ni auriculares, todos los/las estudiantes habrán de tener al descubierto sus pabellones auditivos durante la realización de los exámenes.
• Se considerará que un/a estudiante está copiando si se detecta el uso de calculadoras, audífonos, relojes inteligentes, teléfonos móviles u otros dispositivos electrónicos que sean programables, con capacidad para el almacenamiento de voz y/o de datos o transmisión de los mismos.

Información de interés para estudiantado con discapacidad y/o Necesidades Específicas de Apoyo Educativo (NEAE): Gestión de servicios y apoyos (https://ve.ugr.es/servicios/atencion-social/estudiantes-con-discapacidad).

Maxima y Python