Guía docente de Ampliación de Matemáticas (23011D2)

Se recomienda haber adquirido adecuadamente las competencias descritas en las asignaturas Matemáticas I y Matemáticas II del Grado en Ingeniería de Edificación.

Tener conocimientos adecuados sobre:

• Cálculo diferencial e integral de funciones de una y varias variables
• Cálculo matricial: suma, producto, cálculo de la matriz inversa de una matriz regular, determinante de una matriz cuadrada.
• Diagonalización de matrices.
• Cónicas y cuádricas.

Métodos numéricos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Tratamiento numérico de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Curvas y superficies en Ingeniería de Edificación. Optimización. Aplicaciones informáticas.

Conocer y aplicar los métodos numéricos para sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones diferenciales ordinarias. Conocer las curvas y superficies aplicables en ingeniería de edificación. Más concretamente:

• Resolver sistemas lineales de dos o tres ecuaciones, mediante métodos directos e iterativos
• Resolver sistemas lineales mediante métodos directos e iterativos, usando el ordenador.
• Calcular valores propios mediante el método de las potencias y de deflación.
• Resolver problemas de temperaturas en placas, circuitos eléctricos, y estructuras arquitectónicas, mediante sistemas de ecuaciones lineales.
• Resolver problemas relacionados con el estudio de vibraciones en sistemas mecánicos o el estudio de las tensiones principales en una estructura, mediante el cálculo de valores y vectores propios.
• Describir por medio de las ecuaciones diferenciales los fenómenos físicos en los que interviene la variación de una variable con respecto a otra.
• Reconocer ecuaciones diferenciales de primer orden y lineales de orden n.
• Resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden n mediante el método de variación de parámetros.
• Resolver la ecuación diferencial de Euler.
• Resolver ecuaciones diferenciales mediante diversos métodos numéricos.
• Calcular trayectorias ortogonales e isogonales a una familia de curvas en el plano y líneas de máxima pendiente de superficies, mediante ecuaciones diferenciales de primer orden.
• Resolver problemas de caída de cuerpos en el espacio, de temperatura de sólidos y enfriamiento de edificios, mediante ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
• Calcular curvas en el plano que verifiquen ciertas propiedades relacionadas con su tangente y normal, mediante ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
• Resolver problemas de deflexiones de vigas y de movimientos vibratorios de sistemas mecánicos mediante ecuaciones diferenciales lineales de orden n.
• Calcular la longitud de una curva parametrizada.
• Determinar el triedro de Frenet asociado a una curva regular en un punto, así como los planos y rectas que determina.
• Reconstruir localmente una curva a partir de su curvatura y torsión, aplicándolo al diseño de carreteras.
• Calcular envolventes de famílias de curvas parametrizadas.
• Calcular la evoluta de una curva plana.
• Calcular una integral curvilínea.
• Hallar el área de una superficie parametrizada.
• Calcular el plano tangente y la recta normal a una superficie en un punto.
• Obtener una parametrización para superfícies de revolución, regladas y de traslación.
• Clasificar las superficie regladas.
• Obtener la línea de estricción.
• Calcular una integral de superficie.
• Formular un problema de programación lineal.
• Aplicar el método gráfico para la resolución de un problema de programación lineal.
• Aplicar el algoritmo del simplex.

Tema 1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

• Conceptos básicos sobre matrices y normas matriciales.
• Métodos directos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Método de Gauss y Gauss-Jordan.
• Métodos de factorización LU, de Doolittle, Crout y Cholesky.
• Error y condicionamiento de un sistema.
• Sucesiones matriciales.
• Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
• Métodos de Jacobi, Gauss-Seidel y de relajación.
• Métodos del descenso más rápido y del gradiente conjugado.
• Convergencia de los métodos iterativos.
• Cálculo de valores y vectores propios: método de las potencias y, método de deflación.
• Aplicaciones.

Tema 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden y lineales de orden n.

• Conceptos generales.
• Teorema de existencia y unicidad.
• Ecuaciones diferenciales de variables separables, homogéneas, reducibles a homogéneas, exactas y factores integrantes, lineales, de Bernouilli y de Ricatti.
• Aplicaciones: Trayectorias ortogonales e isogonales, líneas de máxima pendiente.
• Otras aplicaciones geométricas.
• Ecuación diferencial lineal homogénea de orden n.
• Dependencia e independencia lineal, Wronskiano.
• Ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes.
• Ecuación diferencial completa de coeficientes constantes.
• Ecuación diferencial de Euler.
• Método de variación de parámetros.
• Resolución numérica de ecuaciones diferenciales:
• Métodos de Euler, de Taylor y lineales de varios pasos (implícitos y explícitos).
• Método predictor-corrector.
• Método de Runge-Kutta.
• Aplicaciones: Deflexiones de vigas, movimiento vibratorio de sistemas mecánicos.

Tema 3. Curvas parametrizadas.

• Modelos matemáticos para la representación de curvas.
• Repaso a las funciones vectoriales de variable real.
• Curvas parametrizadas: primeros conceptos y ejemplos.
• Vector velocidad y vector tangente.
• Longitud de una curva.
• Curvas parametrizadas por el parámetro arco.
• Estudio local de una curva parametrizada: triedro y fórmulas de Frenet.
• Teorema Fundamental.
• Envolvente de una familia de curvas.
• Integral de línea.

Tema 4. Superficies parametrizadas.

• Primeras definiciones y ejemplos.
• Plano tangente y recta normal.
• Superficies regulares.
• Área de una superficie parametrizada.
• Superficies implícitas.
• Algunas superficies especiales: superficies de traslación, superficies de revolución y superficies regladas.
• Integral de superficie.

Tema 5. Programación lineal.

• Formulación general de un problema de programación lineal.
• Método gráfico.
• Optimización de funciones lineales en conjuntos convexos.
• Algoritmo del Símplex.

• Práctica 1: Resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales.
• Práctica 2: Resolución numérica de ecuaciones diferenciales.
• Práctica 3: Estudio de curvas parametrizadas con ayuda del ordenador.
• Práctica 4: Estudio de superficies parametrizadas con ayuda del ordenador.
• Práctica 5: Resolución de problemas de programación lineal usando el ordenador.

• Burden, R. y Faires, J., Análisis numérico, Ed. Iberoamericana, México, 1.985.
• Castellano, J., Gámez, D. y Pérez, R., Cálculo matemático aplicado a la técnica, Proyecto Sur, Granada, 3ª Edición, 2000.
• Castellano, J., Gámez, D., Garralda, A. I. y Ruiz, M., Matemáticas para la Arquitectura (II), Proyecto Sur, Granada, 2000.
• Champion, E.R., JR., Numerical Methods for Engineering Applications, Ed. Marcel Dekker Inc., 1993.
• Gasca González, M., Cálculo numérico I, U.N.E.D., Madrid, 1.990.
• Marsden, J.E. y Tromba, A.J., Cálculo vectorial, Addison Wesley, Nueva York, 5ª Edición, 2004.
• Luenberger, David G.; Ye, Yinyu Linear and nonlinear programming. Fifth edition. For the fourth edition. International Series in Operations Research & Management Science, 228. Springer, Cham, 2021.
• Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. Numerical optimization. Second edition. Springer Series in Operations Research and Financial Engineering. Springer, New York, 2006.
• Vanderbei, Robert J. Linear programming—foundations and extensions. Fifth edition. International Series in Operations Research & Management Science, 285. Springer, Cham, 2020.
• Piskunov, N., Cálculo Diferencial e Integral. Tomos I y II, Ed. Mir, Moscú, 1983.
• Ross S. L., Ecuaciones Diferenciales, Ed. Reverté, Barcelona, 1979.
• Zill, D., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Iberoamericana, México, 1.988.
• Kincaid, W., Cheney, D., Numerical Mathematics and Computing - Sixth Edition, Ed. Thomson, 2008.

• Do Carmo, M.P., Geometría diferencial de curvas y superficies, Alianza Univ., Madrid, 1994.
• Chapra Steven, C.-Canale Raymond P., Métodos numéricos para ingenieros, McGraw-Hill, México, 1988.
• López de la Rica A., de la Villa Cuenca, A., Geometría Diferencial, CLAG, S.A., Madrid, 1984.
• Luenberger, David E., Programación lineal y no lineal, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, Delaware, 1989.
• Simmons, M., George, F., Ecuaciones Diferenciales, Ed. Mc Graw-Hill, Madrid, 1993.
• Vega López Antonio, Un curso de geometría diferencial: curvas y superficies, Murcia, 1993.

• Página web de la Universidad de Granada
• Página web de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Edificación
• Página web del Departamento de Matemática Aplicada

• MD01. Clases de teoría: En ella se exponen los contenidos desde una perspectiva general, ordenados sistemáticamente, aunque se hace imprescindible la participación por parte del alumnado, ya que es cuando él deberá reflexionar, recordar, preguntar, criticar y participar activamente en su desarrollo, produciéndose un diálogo que permita a docente y discente adquirir confianza en el trabajo que se está desarrollando. Se recomienda al alumno tomar sus propios apuntes, las anotaciones que crea oportunas (aclaraciones, ejemplos, puntualizaciones, etc.) que unidos a los apuntes facilitados por el profesor completarán el material docente. 
• MD02. Clases de prácticas: En este tipo de actividades pueden considerarse las siguientes: ¿ Prácticas usando aplicaciones informáticas: en las que los alumnos trabajando por grupos y tutelados por el profesor, aplican los conocimientos teóricos y prácticos para resolver problemas de aplicación con la ayuda del ordenador. Se favorecerá, por un lado, el trabajo autónomo del alumno, propiciando un aprendizaje independiente y crítico, y por otro lado, se propondrán trabajos en grupo en los que se desarrollen las capacidades transversales. ¿ Prácticas en laboratorio: Se pretende por un lado mostrar aplicaciones prácticas de los contenidos explicados en las clases de teoría y de problemas, así como fomentar habilidades en el análisis de situaciones prácticas, destreza en el empleo de herramientas necesarias para la materia, análisis de datos experimentales y presentación de resultados. En estas clases se pretende analizar situaciones prácticas relacionadas con el campo de la edificación. 
• MD03. Clases de problemas: se promoverán principalmente clases en las que los alumnos individualmente expongan a sus compañeros la resolución de problemas propuestos con anterioridad y seminarios en los que grupos reducidos de alumnos tutelados por el profesor, estudien y presenten al resto de compañeros problemas o prácticas aplicadas a la Edificación. De este modo, se propicia un ambiente participativo de discusión y debate crítico por parte del alumnado, tanto del que expone como del que atiende a la explicación. 
• MD04. Aprendizaje autónomo: Es el estudio por parte del alumno de los contenidos de los diferentes temas explicados en las clases teóricas y en las clases prácticas. 
• MD05. Trabajo autónomo del alumnado: Aplicación de los contenidos de los diferentes temas, en la resolución de problemas y análisis de cuestiones teórico-prácticas, trabajos correspondientes a las prácticas de laboratorio y, en su caso, realización de pequeños trabajos de investigación. así como el trabajo realizado en la aplicación de los sistemas de evaluación. Por otra parte se plantean prácticas de conjunto o proyectos a desarrollar en taller, en las que el alumno desarrolle y relacione los distintos contenidos aprendidos tanto en las clases de teoría como en las de problemas y en la resolución de prácticas. 
• MD06. Tutorías: En ellas se, aclararán u orientarán de forma individualizada o por grupos reducidos, los contenidos teóricos y/o prácticos a desarrollar en las diferentes actividades formativas descritas anteriormente. 
• MD07. Avance autónomo: Consistirá en la consulta por parte del alumno tanto de la bibliografía, como de las direcciones de Internet, sobre cada uno de los temas, que se le habrán proporcionado durante las clases presenciales. 
• MD08. Evaluación: Demostración por parte del alumno de los conocimientos adquiridos a lo largo del periodo docente, mediante pruebas teóricas y/o prácticas que habrán de evaluar la adquisición de conocimientos teóricos y prácticos del alumno en su aprendizaje. Además se añadirá la evaluación de los trabajos prácticos: prácticas, proyectos, talleres, que al alumno haya desarrollado a lo largo del curso. 

Siguiendo las recomendaciones de la CRUE y del Secretariado de Inclusión y Diversidad de la UGR, los sistemas de adquisición y de evaluación de competencias recogidos en esta guía docente se aplicarán conforme al principio de diseño para todas las personas, facilitando el aprendizaje y la demostración de conocimientos de acuerdo a las necesidades y la diversidad funcional del alumnado.

Atendiendo a la Normativa de Evaluación y de Calificación de los estudiantes de la Universidad de Granada, para esta asignatura se contempla tanto una evaluación continua como una evaluación única final. El sistema preferente de evaluación para el alumnado de la asignatura, y que se aplicará por defecto, será el de evaluación continua, cuyas directrices se detallan más abajo. No obstante, en aplicación del Artículo 8 de la Normativa de Evaluación, el estudiante que no pueda seguir el método de evaluación continua por causas justificadas -que se recogen en citado artículo-, podrá solicitar acogerse a la evaluación única final. Esta solicitud se presentará a la Directora del Departamento de Matemática Aplicada según las directrices indicadas para ello en la propia normativa.

EVALUACIÓN CONTINUA
Para que un estudiante pueda ser evaluado por este sistema debe asistir obligatoriamente a clase con regularidad. Por tanto, a los estudiantes que sepan con antelación que no podrán asistir regularmente a clase, se les conmina a solicitar la evaluación única final en plazo y forma
(Artículo 8 de la Normativa de Evaluación y Calificación de la UGR).

Las directrices de la evaluación continua son:
Consta de cinco pruebas, una por tema, que se realizarán en hora de clase una vez acabado el tema. El peso de cada uno de los temas (en todos los casos, supuestos y convocatorias) en la evaluación final es de 1/5. Las pruebas de evaluación podrán incluir preguntas de razonamiento teórico, problemas y cuestiones a resolver con ordenador mediante el software que se haya usado en las clases prácticas. Para superar cualquiera de los temas que conforman el programa de la asignatura es necesario que se cumplan estas dos condiciones:

• obtener una calificación mínima en cada prueba de 3 puntos sobre 10;
• que la nota media de cada prueba sea igual o superior a 5 puntos sobre 10.

Además, el alumnado puede ser llamado a la defensa oral y presencial de la totalidad o de parte de las pruebas de evaluación que realice. Las explicaciones dadas en esas entrevistas serán vinculantes a la hora de calificar las actividades realizadas.

Para aprobar la asignatura es necesario superar los cinco temas de forma independiente. Es decir, teniendo un bloque suspenso no se aprobará la asignatura, independientemente de cuáles sean las calificaciones de los otros dos bloques. examen de la convocatoria ordinaria. En caso contrario, podrá examinarse en el examen ordinario del (los) tema(s) no superado(s). Las condiciones mencionadas anteriormente son de aplicación en todos los casos, supuestos y convocatorias.

La calificación en el acta de la convocatoria ordinaria será la media de los temas, salvo que dicha media sea igual o superior a 5 teniendo alguno de los cinco temas no superado, en cuyo caso la nota en acta será simbólicamente 4,9.

Las fechas de los exámenes oficiales de las convocatorias ordinaria y extraordinaria del curso 2026-2027 serán las que figuren en el calendario aprobado por la Junta de Centro.

Criterios de evaluación:
EV-C1: Constatación del dominio de los contenidos, teóricos y prácticos, y elaboración crítica de los mismos.
EV-C2: Valoración de los trabajos realizados, individualmente o en equipo, atendiendo a la presentación, redacción y claridad de ideas, grafismo, estructura y nivel científico, creatividad, justificación de los que argumenta, capacidad y riqueza de la crítica que se
hace, y actualización de la bibliografía consultada.
EV-C3: Grado de implantación y actitud del alumnado manifestada en su participación en las consultas, exposiciones y debates; así como en la elaboración de los trabajos, individuales o en equipo, y en las sesiones de puesta en común.
EV-C4: Asistencia a clase, seminarios, conferencias, tutorías, sesiones de grupo.

Instrumentos de evaluación:
EV-I1: Pruebas escritas: de ensayo, de respuesta breve, objetivas, casos o supuestos, resolución de problemas.
EV-I2: Pruebas orales: exposición de trabajos (individuales o en grupos), entrevistas, debates.
EV-I4: Trabajos, informes, estudios, memorias,...
EV-I5: Pruebas de conocimiento y destreza en el uso de medios informáticos.

Podrán hacer el examen de la convocatoria extraordinaria el alumnado que no haya superado la asignatura en la convocatoria ordinaria. El examen de la convocatoria extraordinaria podrá incluir preguntas de razonamiento teórico, problemas y cuestiones a resolver con ordenador
mediante el software que se haya usado en las clases prácticas. El alumnado que realice la prueba de la convocatoria extraordinaria ha de examinarse necesariamente del temario completo de la asignatura sin excepción (salvo que este examen se haga bajo el carácter de incidencia debidamente justificada). En la convocatoria extraordinaria se aplican los mismos criterios que los establecidos para la evaluación continua:

Para superar la asignatura es necesario:

• obtener una calificación mínima en cada tema de 3 puntos sobre 10;
• que la nota media de cada tema sea igual o superior a 5 puntos sobre 10.

La calificación en el acta será la media de los cinco temas, salvo que dicha media sea igual o superior a 5 teniendo alguno de los cinco temas no superado, en cuyo caso la nota en acta será simbólicamente 4,9.

La prueba de evaluación única final a la que el alumnado se puede acoger en los casos indicados en la Normativa de evaluación y calificación de los estudiantes de la Universidad de Granada, se realizará en la misma fecha propuesta por la Comisión Docente del Grado para la convocatoria ordinaria. En este caso se realizará un examen de la asignatura completa que podrá incluir preguntas de razonamiento teórico, problemas y cuestiones a resolver con ordenador mediante el software que se haya usado en las clases prácticas. En la evaluación única final se aplican los mismos criterios que los establecidos para la evaluación continua y, por tanto, para superar la asignatura es necesario:

• obtener una calificación mínima en cada tema de 3 puntos sobre 10;
• que la nota media de cada tema sea igual o superior a 5 puntos sobre 10.

Además, el alumnado puede ser llamado a la defensa oral y presencial de la totalidad o de parte de las pruebas de evaluación que realice. Las explicaciones dadas en esas entrevistas serán vinculantes a la hora de calificar las actividades realizadas.

La calificación en el acta será la media de los cinco temas, salvo que dicha media sea igual o superior a 5 teniendo alguno de los cinco temas no superado, en cuyo caso la nota en acta será simbólicamente 4,9.

El alumnado que habiendo solicitado la evaluación única final no se presente a este examen aparecerá en acta como "No Presentado".

1. Texto consolidado de la "Normativa de evaluación y de calificación de los estudiantes de la Universidad de Granada": https://www.ugr.es/universidad/normativa/texto-consolidado-normativa-evaluacion-calificacion-estudiantes-universidad-granada
2. En el caso de utilizar herramientas de IA para el desarrollo de la asignatura, el estudiante debe adoptar un uso ético y responsable de las mismas. Se deben seguir las recomendaciones contenidas en el documento de "Recomendaciones para el uso de la inteligencia artificial en la UGR" que se puede consultar en este enlace: https://www.ugr.es/destacado/infografias-recomendaciones-uso-inteligencia-artificial
3. A los estudiantes que cometan fraude académico, entendido como cualquier comportamiento premeditado tendente a falsear los resultados de un examen o trabajo, propio o ajeno, realizado como requisito para superar una asignatura o acreditar el rendimiento académico, les será de aplicación lo dispuesto en el Reglamento de Convivencia de la Universidad de Granada y Régimen Disciplinario de su Estudiantado que se puede consultar en

(https://www.ugr.es/universidad/normativa/ncg1931-reglamento-convivencia-universidad-granada-regimen-disciplinario-su-estudiantado)

En cuanto a las pruebas de evaluación se seguirán las siguientes normas:

• Una vez comenzada una prueba no se permitirá el acceso al aula.
• No se podrá abandonar el aula hasta que el profesorado lo indique.
• Cualquier dispositivo electrónico estará apagado durante las pruebas de evaluación, salvo que los profesores indiquen explícitamente lo contrario.
• No estará permitido el uso de calculadoras, salvo que los profesores indiquen explícitamente lo contrario.
• No se corregirá ninguna prueba de evaluación escrita parcial o totalmente a lápiz.

Información de interés para estudiantado con discapacidad y/o Necesidades Específicas de Apoyo Educativo (NEAE): Gestión de servicios y apoyos (https://ve.ugr.es/servicios/atencion-social/estudiantes-con-discapacidad).

Sí. Se contempla el posible uso de Maxima, Geogebra y Wolfram Alpha.