Guía docente de Topología II (2971146)

Curso 2026/2027
Fecha de aprobación: 07/07/2026

Grado

Doble Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas

Rama

Ingeniería y Arquitectura

Módulo

Formación Obligatoria Matemáticas

Materia

Topología II

Curso

4

Semestre

1

Créditos

6

Tipo

Obligatoria

Profesorado

Teórico

José Antonio Gálvez López. Grupo: A

Práctico

José Antonio Gálvez López Grupo: 1

Tutorías

José Antonio Gálvez López

Email
  • Lunes de 08:00 a 11:00 (Despacho)
  • Martes de 08:00 a 09:00 (Despacho)
  • Jueves de 08:00 a 09:00 (Despacho)
  • Viernes de 08:00 a 09:00 (Despacho)

Prerrequisitos y/o Recomendaciones

Para un correcto aprovechamiento de la materia se recomienda haber superado la materia Topología I. También es conveniente haber cursado la asignatura Álgebra II.

En el caso de utilizar herramientas de IA para el desarrollo de la asignatura, el estudiante debe adoptar un uso ético y responsable de las mismas. Se deben seguir las recomendaciones contenidas en el documento de "Recomendaciones para el uso de la inteligencia artificial en la UGR" publicado en esta ubicación: https://ceprud.ugr.es/formacion-tic/inteligencia-artificial/recomendaciones-ia#contenido0 <https://ceprud.ugr.es/formacion-tic/inteligencia-artificial/recomendaciones-ia#contenido0>

Breve descripción de contenidos (Según memoria de verificación del Grado)

  • Grupo fundamental.
  • Espacios recubridores.
  • Superficies compactas.

Competencias

Competencias generales

  • CG01. Poseer los conocimientos básicos y matemáticos de las distintas materias que, partiendo de la base de la educación secundaria general, y apoyándose en libros de texto avanzados, se desarrollan en esta propuesta de título de Grado en Matemáticas 
  • CG02. Saber aplicar esos conocimientos básicos y matemáticos a su trabajo o vocación de una forma profesional y poseer las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de las Matemáticas y de los ámbitos en que se aplican directamente 
  • CG03. Saber reunir e interpretar datos relevantes (normalmente de carácter matemático) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética 
  • CG04. Poder transmitir información, ideas, problemas y sus soluciones, de forma escrita u oral, a un público tanto especializado como no especializado 
  • CG05. Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía 
  • CG06. Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos 

Competencias específicas

  • CE01. Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad de enunciar proposiciones en distintos campos de las matemáticas, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos 
  • CE02. Conocer demostraciones rigurosas de teoremas clásicos en distintas áreas de Matemáticas 
  • CE03. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos 
  • CE04. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) y distinguirlas de aquellas puramente accidentales, y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos 
  • CE05. Resolver problemas matemáticos, planificando su resolución en función de las herramientas disponibles y de las restricciones de tiempo y recursos 
  • CE06. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan 
  • CE07. Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización u otras para experimentar en matemáticas y resolver problemas 

Competencias Transversales

  • CT01. Desarrollar cierta habilidad inicial de "emprendimiento" que facilite a los titulados, en el futuro, el autoempleo mediante la creación de empresas 
  • CT02. Fomentar y garantizar el respeto a los Derechos Humanos y a los principios de accesibilidad universal, igualdad ante la ley, no discriminación y a los valores democráticos y de la cultura de la paz 

Resultados de aprendizaje (Objetivos)

  • Intuir la relación entre propiedades topológicas y las estructuras algebraicas como el grupo fundamental.
  • Comprender las propiedades topológicas básicas de los espacios recubridores y alguna aplicación sencilla.
  • Conocer la clasificación de las superficies compactas, orientables o no.

Programa de contenidos teóricos y prácticos

Teórico

  • Tema 0. Complementos de topología conjuntista.
  • Tema 1. El grupo fundamental. Arcos homotópicos. Grupo fundamental. Invarianza topológica. Equivalencias homotópicas. Invarianza homotópica del grupo fundamental. El grupo fundamental de las esferas. Algunos teoremas clásicos de topología algebraica. El teorema de Seifert-van Kampen.
  • Tema 2. Espacios recubridores. Espacios recubridores: definiciones y propiedades básicas. Espacios recubridores y grupo fundamental. Clasificación de recubridores. El recubridor universal.
  • Tema 3. Superficies compactas. Superficies topológicas. Ejemplos. Suma conexa de superficies. Teorema de clasificación de las superficies compactas. Característica de Euler y orientabilidad.

Práctico

Por cada tema del programa de teoría se entregará a los alumnos al menos una relación de ejercicios, problemas y actividades complementarias.

Bibliografía

Bibliografía fundamental

  • M. A. Armstrong, Basic Topology. Undergraduate Texts in Math., Springer-Verlag, New York, 1990.

  • G. E. Bredon, Topology and Geometry. Graduate Texts in Mathematics 139, Springer-Verlag, 1993.

  • J. M. Lee, Introduction to Topological Manifolds. Graduate Texts in Math. Vol. 202, Springer-Verlag, New York, 2000.

  • R. López Camino, Topología. Editorial Universidad de Granada, 2014.

  • W. S. Massey, Introducción a la Topología Algebraica. Reverté, Barcelona, 1972.

  • J. R. Munkres, Topología. Prentice-Hall, 2002.

Bibliografía complementaria

  • I. James, General Topology and Homotopy Theory. Springer-Verlag, 1984.

  • M. W. Hirsch, Differential Topology. Graduate Texts in Mathematics 33, Springer-Verlag ,1976.

  • A. Katok y V. Climenhaga, Lectures on Surfaces: (Almost) Everything You Wanted to Know about Them. AMS, Mathematics Advances Study Semesters, 2008.

  • E. L. Lima, Grupo fundamental e espaços de recobrimento. Projeto Euclides, IMPA 1998.

Enlaces recomendados

Metodología docente

  • MD01. Lección magistral/expositiva 
  • MD02. Sesiones de discusión y debate 
  • MD03. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
  • MD05. Seminarios 
  • MD06. Análisis de fuentes y documentos 
  • MD07. Realización de trabajos en grupo 
  • MD08. Realización de trabajos individuales 

Evaluación (instrumentos de evaluación, criterios de evaluación y porcentaje sobre la calificación final)

Evaluación ordinaria

La calificación final de la asignatura se obtendrá aplicando la siguiente ponderación:

  • Examen escrito de contenidos teóricos y prácticos: 70%.
  • Controles de clase, resolución de ejercicios propuestos y actividades complementarias: 30%.

Se especificarán según los criterios de los profesores, quienes así lo comunicarán a los estudiantes en cada caso. Las pruebas y exámenes serán presenciales. Se tendrá en cuenta el uso riguroso de los resultados teóricos. Las calificaciones en el apartado evaluación continua y participación solo serán computables si se obtiene como mínimo un 4 (sobre 10) en el examen final.

Evaluación por incidencias. Podrán solicitar evaluación por incidencias, los estudiantes que no puedan concurrir a las pruebas finales de evaluación o a las programadas en la Guía Docente con fecha oficial, por alguna de las circunstancias recogidas en el artículo 9 de la Normativa de evaluación y de calificación de los estudiantes de la Universidad de Granada, siguiendo el procedimiento indicado en dicha normativa.

Evaluación extraordinaria

Tal y como establece la Normativa de Evaluación y de Calificación de los Estudiantes de la UGR, los estudiantes que no hayan superado la asignatura en la convocatoria ordinaria dispondrán de una convocatoria extraordinaria. A ella podrán concurrir todos los estudiantes, con independencia de haber seguido o no un proceso de evaluación continua. De esta forma, se realizará un examen que puntuará de 0 al 100% de la nota, sin que se guarden calificaciones de convocatorias anteriores. El examen será presencial. Se tendrá en cuenta el uso riguroso de los resultados teóricos.

La evaluación por incidencias en esta convocatoria sigue las mismas reglas que la de la convocatoria ordinaria.

Evaluación única final

De acuerdo con la Normativa de Evaluación y de Calificación de los Estudiantes de la UGR, se contempla la realización de una evaluación única final a la que podrán acogerse aquellos estudiantes que no puedan cumplir con el método de evaluación continua por algunos de los motivos recogidos en el Artículo 8.

Para acogerse a la evaluación única final, el estudiante, en las dos primeras semanas de impartición de la asignatura, en las dos semanas siguientes a su matriculación si ésta se ha producido con posterioridad, o más tarde si hay causa sobrevenida, lo solicitará a través de la sede electrónica, alegando y acreditando las razones que le asisten para no poder seguir el sistema de evaluación continua.

En este caso, el alumno realizará el examen final de la convocatoria ordinaria que tendrá un peso del 100% de la calificación. El examen será presencial. Se tendrá en cuenta el uso riguroso de los resultados teóricos.

Información adicional

Alumnos con necesidades específicas de apoyo educativo (NEAE). Siguiendo las recomendaciones de la CRUE y del Secretariado de Inclusión y Diversidad de la UGR, los sistemas de adquisición y de evaluación de competencias recogidos en esta guía docente se aplicarán conforme al principio de diseño para todas las personas, facilitando el aprendizaje y la demostración de conocimientos de acuerdo a las necesidades y la diversidad funcional del alumnado. La metodología docente y la evaluación serán adaptadas al alumnado con NEAE, conforme al Artículo 11 de la Normativa de Evaluación y de Calificación de estudiantes de la UGR, publicada en el Boletín Oficial de la UGR nº 112, de 9 de noviembre de 2016.

Inclusión y Diversidad de la UGR. En el caso de estudiantes con discapacidad u otras NEAE, el sistema de tutoría deberá adaptarse a sus necesidades, de acuerdo a las recomendaciones de la Unidad de Inclusión de la UGR, procediendo los Departamentos y Centros a establecer las medidas adecuadas para que las tutorías se realicen en lugares accesibles. Asimismo, a petición del profesorado, se podrá solicitar apoyo a la unidad competente de la Universidad cuando se trate de adaptaciones metodológicas especiales. Información de interés para alumnado con discapacidad y/o Necesidades Específicas de Apoyo Educativo (NEAE): Gestión de servicios y apoyos (https://ve.ugr.es/servicios/atencion-social/estudiantes-con-discapacidad).

Información de interés para estudiantado con discapacidad y/o Necesidades Específicas de Apoyo Educativo (NEAE): Gestión de servicios y apoyos (https://ve.ugr.es/servicios/atencion-social/estudiantes-con-discapacidad).