Guía docente de Teoría de Números y Criptografía (27011A4)
Grado
Rama
Módulo
Materia
Curso
Semestre
Créditos
Tipo
Profesorado
Teórico
Prerrequisitos y/o Recomendaciones
Tener cursadas las asignaturas Álgebra I, II y III.
Breve descripción de contenidos (Según memoria de verificación del Grado)
- Introducción a la Teoría Algebraica de Números.
- Elementos enteros y descomposición de ideales en extensiones.
- Factorización y tests de primalidad.
- Criptografía asimétrica y criptosistemas.
Competencias
Competencias generales
- CG01. Poseer los conocimientos básicos y matemáticos de las distintas materias que, partiendo de la base de la educación secundaria general, y apoyándose en libros de texto avanzados, se desarrollan en esta propuesta de título de Grado en Matemáticas
- CG02. Saber aplicar esos conocimientos básicos y matemáticos a su trabajo o vocación de una forma profesional y poseer las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de las Matemáticas y de los ámbitos en que se aplican directamente
- CG03. Saber reunir e interpretar datos relevantes (normalmente de carácter matemático) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética
- CG04. Poder transmitir información, ideas, problemas y sus soluciones, de forma escrita u oral, a un público tanto especializado como no especializado
- CG05. Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía
- CG06. Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos
Competencias específicas
- CE01. Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad de enunciar proposiciones en distintos campos de las matemáticas, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos
- CE02. Conocer demostraciones rigurosas de teoremas clásicos en distintas áreas de Matemáticas
- CE03. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos
- CE04. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) y distinguirlas de aquellas puramente accidentales, y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos
- CE05. Resolver problemas matemáticos, planificando su resolución en función de las herramientas disponibles y de las restricciones de tiempo y recursos
- CE06. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan
- CE07. Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización u otras para experimentar en matemáticas y resolver problemas
- CE08. Desarrollar programas que resuelvan problemas matemáticos utilizando para cada caso el entorno computacional adecuado
Competencias Transversales
- CT01. Desarrollar cierta habilidad inicial de "emprendimiento" que facilite a los titulados, en el futuro, el autoempleo mediante la creación de empresas
- CT02. Fomentar y garantizar el respeto a los Derechos Humanos y a los principios de accesibilidad universal, igualdad ante la ley, no discriminación y a los valores democráticos y de la cultura de la paz
Resultados de aprendizaje (Objetivos)
- Conocer los problemas básicos y los resultados fundamentales en teoría algebraica de números.
- Conocer la importancia de la Criptografía para las tecnologías de la información y comunicación.
- Conocer los fundamentos álgebro-numéricos del diseño de algunos criptosistemas de uso común (por ejemplo, RSA o basados en curvas elípticas).
Programa de contenidos teóricos y prácticos
Teórico
Introducción a la teoría algebraica de números
-
Ley de reciprocidad cuadrática.
-
Enteros y cuerpos de números cuadráticos.
-
Dominios de Dedekind.
Aplicación de la teoría elemental de números a la criptografía
-
Primalidad y factorización.
-
Clave publica y criptosistemas RSA.
-
Criptosistemas basados en el logaritmo discreto.
Práctico
Resolución de problemas relacionados con los temas teóricos.
Bibliografía
Bibliografía fundamental
- Neal Koblitz. A Course in Number Theory and Criptography. 2nd edition. Graduate Text in Mathematics, 114. Springer, 1994.
- I. Niven, H. S. Zuckerman and H. L. Montgomery. An introduction to the Theory of Numbers. John Wiley & Sons, 1991.
- Ian Stewart and David Tall. Algebraic Numer theory and Fermat's Last Theorem. A.K. Peters 2002.
- Hans Delfs and Helmut Knebl. Introduction to Cryptography. Principles and Applications. 3rd edition. Information Security and Cryptography. Springer, 2015.
- H. Davenport. The higher arithmetic. An introduction to the theory of numbers. Eighth edition. Cambridge University Press. Cambridge, 2008.
Bibliografía complementaria
-
A. Enge. Elliptic curves and their applications to cryptography. An introduction. Kluwer Academic Publishers. 1999.
-
Yu. I. Manin and A.A. Panchishkin. Introduction to modern number theory. Second edition. Encyclopaedia of mathematical Sciences, Vol. 49. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2005.
Enlaces recomendados
- Carlos Ivorra, Introducción a la teoría algebraica de números, https://www.uv.es/ivorra/Libros/ITAl.pdf
- Ángel del Río, Apuntes de Teoría de Números Algebraicos, https://www.um.es/adelrio/Docencia/TNumeros/TNA.pdf
Metodología docente
- MD01. Lección magistral/expositiva
- MD02. Sesiones de discusión y debate
- MD03. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos
- MD04. Prácticas en sala de informática
- MD05. Seminarios
- MD06. Análisis de fuentes y documentos
- MD07. Realización de trabajos en grupo
- MD08. Realización de trabajos individuales
Evaluación (instrumentos de evaluación, criterios de evaluación y porcentaje sobre la calificación final)
Evaluación ordinaria
Todo lo relativo a la evaluación se regirá por la Normativa de evaluación y calificación de los estudiantes de la Universidad de Granada. Preferentemente, la evaluación ordinaria se ajustará al sistema de evaluación continua del aprendizaje del estudiante siguiendo el artículo 7 de la anterior Normativa. De acuerdo al punto 7.4, "los resultados de las diferentes actividades en las que se base la evaluación del aprendizaje del estudiante se darán a conocer de forma paulatina a lo largo del curso y, en todo caso, se procurará comunicar con una antelación suficiente a la fecha prevista oficialmente por el Centro para el examen final".
En la convocatoria ordinaria, la calificación de cada alumno se obtendrá de:
- un examen final con preguntas de carácter teórico y de resolución de problemas (60%),
- pruebas de clase no eliminatorias o entrega de ejercicios resueltos (30%),
- participación, actitud y esfuerzo personal en las actividades formativas (10%).
No obstante, si la ponderación de las calificaciones intermedias y la participación provocase una disminución de la calificación del alumno, se optará por no incluirlas en el cálculo.
Evaluación extraordinaria
En la convocatoria extraordinaria, la evaluación consistirá en un examen general con preguntas de carácter teórico y de resolución de problemas.
Evaluación única final
Según la normativa vigente, la evaluación única final, entendiendo por tal la que se realiza en un solo acto académico, podrá incluir cuantas pruebas sean necesarias para acreditar que el estudiante ha adquirido la totalidad de las competencias descritas en la guía docente de la asignatura.
En el caso de la presente asignatura, la evaluación final única constará de una única prueba: examen final con preguntas de carácter teórico y de resolución de problemas.
De acuerdo con la Normativa de evaluación y de calificación de los estudiantes de la Universidad de Granada, se contempla la realización de una evaluación única final a la que podrán acogerse aquellos estudiantes que no puedan cumplir con el método de evaluación continua por algunos de los motivos recogidos en el artículo 8.
Para acogerse a la evaluación única final, el estudiante, en las dos primeras semanas de impartición de la asignatura, en las dos semanas siguientes a su matriculación si ésta se ha producido con posterioridad, o más tarde si hay causa sobrevenida, lo solicitará a través de la sede electrónica, alegando y acreditando las razones que le asisten para no poder seguir el sistema de evaluación continua.
Información adicional
Información de interés para estudiantado con discapacidad y/o Necesidades Específicas de Apoyo Educativo (NEAE): Gestión de servicios y apoyos (https://ve.ugr.es/servicios/atencion-social/estudiantes-con-discapacidad).
Software Libre
- GAP
- PARI/GP
- Python
- SageMath