Guía docente de Geometría Diferencial (2461116)

Haber cursado las asignaturas básicas de Álgebra Lineal y Geometría y Cálculo.

En el caso de utilizar herramientas de IA para el desarrollo de la asignatura, el estudiante debe adoptar un uso ético y responsable de las mismas. Se deben seguir las recomendaciones contenidas en el documento de "Recomendaciones para el uso de la inteligencia artificial en la UGR" publicado en esta ubicación:

https://ceprud.ugr.es/formacion-tic/inteligencia-artificial/recomendaciones-ia#contenido0

Curvas: triedro de Frenet y curvas construidas a partir de otras curvas. Superficies: tipos de superficies. Primera y segunda forma cuadrática fundamental. Aplicación de Gauss. Clasificación de los puntos de una superficie. Integrales de línea y de superficie: campos vectoriales y escalares. Teoremas de Green, Stokes y de Gauss-Ostrograsky. Aplicaciones: campos centrales. Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias: modelos matemáticos aplicados a la ingeniería. Problemas de valores iniciales: existencia y unicidad de solución. Métodos elementales de resolución. La ecuación diferencial lineal de orden superior.

• Calcular integrales dobles e integrales triples. Aplicaciones.
• Aplicar cambios de variable adecuados.
• Parametrizar diferentes curvas tanto planas como espaciales.
• Calcular los distintos elementos geométricos y métricos de una curva plana o alabeada.
• Construir curvas a partir de otras curvas.
• Estudiar los contactos entre curvas.
• Determinar diferentes representaciones de superficies, fundamentalmente paramétricas.
• Saber calcular el plano tangente a una superficie en un punto.
• Calcular la primera forma fundamental de una superficie parametrizada y realizar un estudio local de la misma.
• Distinguir y parametrizar superficies de tipos específicos: revolución, traslación, reglada, etc.
• Calcular la segunda forma fundamental de una superficie parametrizada y utilizarla para clasificar puntos de las mismas.
• Calcular integrales de línea e integrales de superficie.
• Aplicar los teoremas de Green, Gauss y Stokes para el cálculo de integrales de línea o superficie.
• Extender los métodos de cálculo de integrales de superficie a la teoría general de campos.
• Aplicar la teoría de campos a problemas fundamentales de la hidrodinámica y los campos gravitatorio y electromagnético.
• Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y aplicar a modelos físicos concretos.
• Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de orden dos lineales con coeficientes constantes y aplicar a modelos mecánicos y eléctricos concretos.

Tema 1. Curvas.

1.1. Parametrización de curvas.
1.2. Triedro y fórmulas de Frenet.
1.3. Teorema fundamental.

Tema 2: Superficies.

2.1. Introducción al estudio de las superficies. Plano tangente y vector normal.
2.2. Tipos especiales de superficies: traslación, rotación y regladas.
2.3. Teoría local de superficies. Primera y segunda forma cuadrática fundamental. Clasificación de los puntos de una superficie.

Tema 3. Integrales de línea y de superficie.

3.1. Operadores diferenciales en coordenadas cartesianas y curvilíneas: gradiente, rotacional, divergencia y laplaciano. Aplicaciones.
3.2. Integración de campos escalares y vectoriales. Integrales de línea y de superficie. Aplicaciones.
3.3. Teoremas fundamentales: de Green, Stokes y de la divergencia o de Gauss- Ostrogradsky. Aplicaciones: campos de velocidades y centrales.

Tema 4: Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias

4.1. Métodos elementales de resolución de ecuaciones diferenciales y problemas de valores iniciales de primer y segundo orden.
4.2. Modelos matemáticos aplicados a la ingeniería.

Prácticas con software de cálculo simbólico y numérico a propuesta del profesor.

Castellano Alcántara, J. . Métodos matemáticos de las técnicas. Granada, Proyecto Sur, 1995.
Hernández Cifre, Ma. A. y Pastor González, J.A. Un curso de Geometría Diferencial. Madrid, CSIC, 2010.
Marsden, J. E. y Tromba, A. J. .Cálculo vectorial. Addison Wesley Iberoamericana 2004.
Quesada Molina, J. J. Métodos matemáticos de las técnicas. Apuntes. Granada, Santa Rita, 2002.

Zill, D.G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, novena edición, Cengage Learning 2009.

Departamento de Matemática Aplicada
PRADO

La evaluación continua constará de dos partes:

1. La primera consistirá en la realización, en horas de clase, de ejercicios teórico-prácticos durante el periodo lectivo, lo que supondrá un 50% de la calificación final.

2. El restante 50% se corresponderá con la prueba de evaluación de la convocatoria ordinaria de la asignatura el día fijado en el calendario de exámenes de la E.T.S. de Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos.

Para superar la asignatura, la calificación total deberá ser superior o igual a 5 puntos sobre 10.

En la convocatoria extraordinaria se realizará una prueba escrita con contenidos teóricos y prácticos, que corresponde al 100% de la calificación final.

Aquellos alumnos que realicen la Evaluación Única Final de acuerdo a la Normativa de evaluación vigente, realizarán una prueba escrita con contenidos teóricos y prácticos, que corresponde al 100% de la calificación final.

Plataforma PRADO en la que aparecen materiales correspondientes a los distintos contenidos de la asignatura. Recursos: PRADO y Google Meet. Enlaces: Cálculo Vectorial 5ta Edición Jerrold E. Marsden & Anthony J. Tromba