Guía docente de Ecuaciones en Derivadas Parciales (27011B2)

Para un correcto seguimiento de la materia se recomienda haber cursado las asignaturas de la materia básica Matemáticasy las materias del módulo obligatorio Análisis Matemáticodel grado en Matemáticas.

• Ecuaciones clásicas de la Física, métodos de resolución de problemas de valores iniciales, de contorno y de tipo mixto para ecuaciones elípticas, hiperbólicas y parabólicas

1. Conocimiento adecuado del origen de las ecuaciones en derivadas parciales, incluyendo una perspectiva histórica de los problemas que motivaron el estudio de los distintos tipos de problemas asociados a ellas.
2. Comprensión profunda de las demostraciones y técnicas usadas en esta asignatura, así como de sus principales aplicaciones, dentro y fuera del Análisis Matemático.
3. Saber distinguir con claridad los distintos tipos de ecuaciones (parabólicas, hiperbólicas y elípticas), así como los distintos tipos de problemas asociados a ellas (de valores iniciales, de tipo mixto y de contorno).
4. Familiaridad con las principales aplicaciones de las EDP en distintos campos de la Ciencia, especialmente las aplicaciones en Física e Ingeniería.
5. Preparación para estudios posteriores (por ejemplo, de máster), tanto en Análisis Matemático como en otras ramas de la Matemática, así como para la investigación en Matemáticas.

Capítulo I. Introducción y motivación:

• El origen de las EDP y su relación con problemas de Física.
• Fenómenos de difusión y de ondas. Problemas de Cauchy, de contorno y de tipo mixto.

Capítulo II. Ecuaciones casilineales de primer orden.

• Sistema característico.
• Problemas de Cauchy, método de las características.

Capítulo III. La ecuación de ondas:

• El problema de valores iniciales y la fórmula de D’Alembert. Propagación de ondas.
• La ecuación de ondas en dimensiones superiores.
• Series de Fourier y problemas de tipo mixto.

Capítulo IV. La ecuación del calor:

• El problema de valores iniciales.
• Propiedades cualitativas: regularización, irreversibilidad.
• El principio del máximo-mínimo.
• Series de Fourier y problemas de tipo mixto.

Capítulo V. Las ecuaciones de Laplace y Poisson:

• La ecuación de Laplace y funciones armónicas.
• El potencial de Newton.
• Desigualdad de las medias, principio del máximo-mínimo.
• Teorema de Liouville.
• Series de Fourier y el problema de Dirichlet.
• La ecuación de Poisson.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:

• Cañada, A. Series de Fourier y Aplicaciones. Ediciones Pirámide, Madrid, 2002.
• Peral, I.: Primer curso de Ecuaciones en derivadas parciales. Addison-Wesley, 1995. La 2ª edición, de 2004, está disponible (libre) en http://matematicas.uam.es/~ireneo.peral/libro.pdf
• Evans, L. C.: Partial Differential Equations, AMS, 2002.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:

• Budak, B.M.; Samarski, A.A. y Tijonov, A.N.: Problemas de la Física Matemática. Volúmenes I y II. Mir, 1984.
• Gilbarg, D. y Trudinger, N.S.: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1983.
• Strauss W.A: Partial differential equations an introduction. New York: John Wiley and Sons, 2008.
• Tijonov, A.N. y Samarsky, A.A. Ecuaciones de la Física Matemática. Mir, 1980.

Apuntes del curso introductorio de EDPs del MIT:

https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-152-introduction-to-partial-differential-equations-fall-2011/

PDE solvers: http://math.uchicago.edu/~luis/index.html

• MD01. Lección magistral/expositiva 
• MD03. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
• MD06. Análisis de fuentes y documentos 
• MD07. Realización de trabajos en grupo 
• MD08. Realización de trabajos individuales 

CONVOCATORIA ORDINARIA:

La evaluación se expresará mediante calificación numérica y corresponderá a la puntuación ponderada de los diferentes aspectos y actividades que integran el sistema de evaluación.

• El 40% de la calificación final corresponderá a la Evaluación Continuada de actividades propuestas por el profesor, que se desarrollarán paralelamente al transcurso de las clases:
  - Participación activa en clases y tutorías, así como entregas y exposiciones de ejercicios individuales ó en grupos (20%).
  - Pruebas escritas sin eliminación de materia (20%).
• El 60% restante corresponderá al Examen Final.

CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA:

Constará de una única prueba final por escrito, de carácter obligatorio, con cuestiones teóricas y prácticas. La puntuación obtenida en la prueba final representará el 100% de la calificación final.

MODALIDAD DE EVALUACIÓN ÚNICA FINAL:

La modalidad de Evaluación Única Final estará formada por distintas pruebas, de forma que se pueda acreditar que el estudiante ha adquirido la totalidad de las competencias generales y específicas descritas en el apartado correspondiente de esta Guía Docente. De manera inexcusable se realizará un examen escrito sobre los contenidos del programa expuesto anteriormente.

Las medidas de adaptación de tutorías, docencia y evaluación, así como las ponderaciones de evaluación, etc. podrían verse afectadas en función de circunstancias extraordinarias que pudieran sobrevenir motivadas por la crisis sanitaria o alguna otra razón. En todo caso, las posibles alteraciones de esta guía docente priorizarán el objetivo de evitar perjuicio a los alumnos afectados.