Guía docente de Análisis de Fourier (27011B1)

Para un correcto seguimiento de la materia se recomienda haber cursado las asignaturas de la materia básica Matemáticas y las materias del módulo obligatorio Análisis Matemático

• Series y transformada de Fourier.
• Aplicaciones del Análisis de Fourier.

• Conocimiento de los problemas que motivaron el nacimiento y desarrollo de los métodos de Fourier.
• Familiaridad con las principales propiedades de los espacios de funciones usados en los métodos de Fourier.
• Dominio de los teoremas fundamentales del Análisis de Fourier (series y transformada) y perfecta comprensión de sus demostraciones.
• Capacidad de abstracción para el estudio de problemas típicos del Análisis Matemático desde un punto de vista funcional, comprendiendo las ventajas de los métodos funcionales para la resolución de diversos problemas.
• Preparación para estudios posteriores tanto en Análisis Matemático como en otras ramas de la Matemática.
• Conocimiento de algunas aplicaciones del Análisis de Fourier, dentro y fuera del Análisis Matemático.

• Capítulo 1. Series de Fourier
  • Tema 1. Series de Fourier. Propiedades básicas de las series de Fourier. Lema de Riemann-Lebesgue. Magnitud de los coeficientes de Fourier. Series de Fourier y derivación. Teorema de unicidad. Teorema de inversión.
  • Tema 2. Convolución. Definición y propiedades básicas de la convolución. Teorema de convolución de Young. Convolución y derivación. Núcleos de sumabilidad.
  • Tema 3. Convergencia puntual y uniforme de las series de Fourier, I. El núcleo de Dirichlet. Criterio de Dini. Principio de localización de Riemann.
  • Tema 4. Sumabilidad puntual y uniforme de las series de Fourier. Sumas de Fejér y sumas de Poisson. Teorema de Fejér. Teorema de Lebesgue. Teorema de Fatou.
  • Tema 5. Convergencia puntual y uniforme de las series de Fourier, II. Criterio de Jordan. Integración de las series de Fourier. El fenómeno de Gibbs.
  • Tema 6. Convergencia en media de las series de Fourier. Convergencia en media cuadrática. Teorema de Riesz-Fischer. Identidad de Parseval. Sumabilidad en media.
  • Tema 7. Aplicaciones de las series de Fourier. Ecuaciones clásicas de la física matemática.Teorema de aproximación de Weierstrass. Desigualdad isoperimétrica. Fórmula de Euler de factorización de la función seno. Teorema de equidistribución de Weyl.
• Capítulo 2. La transformada de Fourier.
  • Tema 8. La transformada de Fourier en L^1. Propiedades básicas de la transformada de Fourier. Lema de Riemann-Lebesgue. Magnitud de la transformada de Fourier. Transformada de Fourier y derivación. Fórmula de sumación de Poisson. Teorema de unicidad. Teorema de inversión
  • Tema 9. Convolución. Definición y propiedades básicas de la convolución. Transformada de Fourier y convolución. Teorema de convolución de Young. Convolución y derivación. Núcleos de sumabilidad.
  • Tema 10. Inversión de la transformada de Fourier. Criterio de Dini. Métodos de sumación. Los núcleos de Dirichlet, Fejér, Poisson y Gauss-Weierstrass. Criterio de Jordan. Transformada de Fourier e integración. El fenómeno de Gibbs.
  • Tema 11. La transformada de Fourier en L^2. El teorema de Plancherel. Transformada de Fourier e integración. Transformada de Fourier y convolución. Transformada de Fourier y derivación. Inversión de la transformada de Fourier en L^2.
  • Tema 12. Aplicaciones de la transformada de Fourier. Ecuaciones clásicas de la física matemática. Teorema de aproximación de Weierstrass. Principio de incertidumbre. Muestreo de señales.

Las prácticas de esta asignatura consisten en la resolución de ejercicios y problemas relacionados con los contenidos teóricos antes expuestos. El temario es el mismo.

• Dym, H, McKean, H. P., Fourier series and integrals. Academic Press, 1972.
• Folland, G. B., Fourier analysis and its applications. Wadsworth, 1992.
• Katznelson, Y., An introduction to harmonic analysis. Cambridge University Press, 2004.
• Pinsky, M. A., Introduction to Fourier analysis and wavelets. American Mathematical Society, 2009.
• Stein, E. M., Shakarchi, M., Fourier analysis: an introduction. Princeton University Press, 2003.

• Edwards, R. E., Fourier series. A modern introduction. Volume 1. Springer, 2003.
• Grafakos, L., Classical Fourier analysis. Springer, 2014.
• Zygmund, A., Trigonometric series. Cambridge University Press, 2003.

• MD01. Lección magistral/expositiva 
• MD03. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
• MD06. Análisis de fuentes y documentos 
• MD07. Realización de trabajos en grupo 
• MD08. Realización de trabajos individuales 

La asignatura se evaluará mediante un sistema de evaluación diversificada basado en las actividades siguientes:

• Debates colectivos o individuales de temática teórica o práctica.
• Dos pruebas escritas que consistirán en la resolución de ejercicios sobre los contenidos objeto de evaluación.

El resultado de esta evaluación diversificada representará el 30% de la calificación final. La asistencia a clase es voluntaria y no es evaluable.

Para la valoración global de los conocimientos asimilados y de las competencias adquiridas por los estudiantes, se realizará un examen final en la fecha establecida oficialmente para ello. Este examen será escrito, de carácter teórico y práctico, y comprenderá todos los contenidos de la asignatura impartidos. La puntuación de este examen representará el 70% de la calificación final. La calificación final se expresará numéricamente como resultado de la ponderación indicada.

Se realizará un único examen escrito, de carácter teórico y práctico, que comprenderá todos los contenidos de la asignatura impartidos. La puntuación obtenida en este examen representará el 100% de la calificación.

Aquellos estudiantes que siguiendo la Normativa de la UGR en los términos y plazos que en ella se exigen, se acojan a esta modalidad de evaluación, realizarán un único examen escrito, de carácter teórico y práctico, y específico para esta modalidad de evaluación, que comprenderá todos los contenidos de la asignatura impartidos. La puntuación obtenida en este examen representará el 100% de la calificación.