Guía docente de Análisis Matemático II (2671116)

Se recomienda tener cursadas las asignaturas de matemáticas de bachillerato.

• Cálculo diferencial e integral en varias variables reales.
• Integrales múltiples, de línea y superficie.

• Conocer y desarrollar una cierta intuición acerca de los conceptos básicos de la topología del espacio euclídeo.
• Reconocer las similitudes y diferencias conceptuales entre funciones de una y varias variables.
• Interpretar conceptos como el vector gradiente y el espacio tangente.
• Estudiar extremos relativos de funciones de varias variables y saberlos utilizar en la resolución de problemas sencillos de optimización.
• Interpretar de forma geométrica el principio de los multiplicadores de Lagrange, y saber aplicarlo en situaciones concretas.
• Interpretar conceptos como volumen y superficie en función del cálculo integral.
• Aplicar el cálculo integral a la resolución de problemas geométricos y de otros campos.
• Conocer la integración en curvas y superficies.
• Interpretar los teoremas de Green, de la divergencia y de Stokes.

Tema 1: El espacio euclídeo.

• 1.1 El espacio euclídeo. Propiedades de espacio vectorial.
• 1.2 Métrica del espacio euclídeo
• 1.3 Topología del espacio euclídeo.

Tema 2: Funciones de varias variables. Continuidad y límite.

• 2.1 Funciones de varias variables. Funciones componentes.
• 2.2 Concepto de límite. Límites iterados, límites a lo largo de conjuntos. Límite mediante coordenadas polares.
• 2.3 Continuidad. Álgebra de funciones continuas. Composición y continuidad.
• 2.4 Teorema de Weierstrass
• 2.5 Curvas y campos vectoriales.

Tema 3: Cálculo diferencial.

• 3.1 Derivadas parciales, derivadas direccionales y diferencial. Espacio tangente.
• 3.2 Gradiente e interpretación.
• 3.3 Matriz jacobiana. Regla de la cadena.
• 3.4 Derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Extremos relativos.
• 3.5 Curvas y superficies dadas por ecuaciones implícitas. Puntos regulares.
• 3.6 Extremos relativos condicionados.

Tema 4: Cálculo integral.

• 4.1 Integrales múltiples. Condiciones suficientes de integrabilidad. Teorema de Fubini.
• 4.2 Cambio de variable en una integral múltiple. Simetrías, traslaciones y homotecias. Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.
• 4.3 Aplicaciones. Cálculo de volúmenes, momentos de inercia y centros de gravedad.

Tema 5: Integrales de línea y de superficie.

• 5.1 Longitud de una curva. Integral de línea.
• 5.2 Campos conservativos e independencia de la trayectoria de integración.
• 5.3 Teoremas de Green y de la divergencia en el plano.
• 5.4 Superficies en el espacio. Plano tangente. Área de una superficie. Integral de superficie.
• 5.5 Divergencia y rotacional de un campo. Teoremas de la divergencia de Gauss y de Stokes.
• 5.6 Aplicaciones a la Mecánica de Fluidos.

Seminarios

• Curvas de nivel. Mapas topográficos.
• Ejemplos de superficies: esferas, paraboloides, elipsoides. Puntos singulares. Conos.
• Momentos de inercia y centros de gravedad.

• Apuntes del profesor Rafael Payá: https://www.ugr.es/~rpaya/cursosanteriores.htm
• Apuntes del profesor Javier Pérez: http://www.ugr.es/~fjperez/textos/Calculo_Diferencial_Varias_Variables.pdf
• BRADLEY, G.L. Y SMITH, K. J.: Cálculo de varias variables (volumen 2). Prentice Hall, 1998.
• CABELLO, J.C.: Métodos matemáticos. Editorial Goel, 2020.
• MARSDEN, J. Y TROMBA, A.: Cálculo Vectorial. Pearson. Addison Wesly. Quinta edición 2004.
• STEWART, J.: Cálculo multivariable. Tercera edición. International Thomson Editores, 1999.
• UÑA JIMÉNEZ, I., SAN MARTÍN MORENO, J. Y TOMEO PERUCHA, V.: Problemas resueltos de Cálculo en una variable. Colección Paso a Paso. Thomson, 2005.
• UÑA JIMÉNEZ, I., SAN MARTÍN MORENO, J. Y TOMEO PERUCHA, V.: Problemas resueltos de Cálculo en varias variables. Colección Paso a Paso. Thomson, 2007.

WEBB, J.R.L.: Functions of several real variables. Ellis Horwod, 1991.

• MD01. Lección magistral/expositiva 

Con carácter general, la asistencia a clase es voluntaria, sin que ello sea óbice para el sistema de evaluación descrito a continuación:

Para evaluar la adquisición de conocimientos y competencias se usarán los siguientes criterios con la ponderación que se indica:

• Participación activa en clase, participación en las sesiones de tutoría individual y colectiva, resolución y presentación de ejercicios, pruebas escritas de control y demás actividades relacionadas con la materia. El 30% de la calificación final.
• Prueba escrita final, de carácter obligatorio salvo casos especiales, que constará de cuestiones teóricas y resolución de problemas. El 70% de la calificación final

La calificación se expresará mediante calificación numérica y corresponderá a la puntuación ponderada de los diferentes aspectos y actividades que integran el sistema de evaluación.

Constará de una única prueba por escrito y presencial, con cuestiones teóricas y prácticas. La puntuación obtenida representará el 100% de la calificación total.

Constará de una única prueba por escrito y presencial, con cuestiones teóricas y prácticas. La puntuación obtenida representará el 100% de la calificación total.

Todo lo relativo a la evaluación se regirá por la Normativa de evaluación y calificación de los estudiantes vigente en la Universidad de Granada, que puede consultarse en:

http://www.ugr.es/~minpet/pages/enpdf/normativaevaluacionycalificacion.pdf