Guía docente de Álgebra (2231117)

• Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
• Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales.
• Productos escalares, bases ortogonales.
• Descomposición y diagonalización de matrices.
• Espacio afín euclídeo.
• Descomposición por valores singulares. Inversas generalizadas.

Manejar y saber aplicar los conceptos fundamentales del Cálculo Matricial: ejecutar con agilidad las distintas operaciones en el álgebra de matrices, así como operaciones elementales sobre filas y columnas para obtener la forma escalonada reducida, calcular determinantes de cualquier orden, calcular el rango de una matriz, calcular la inversa de una matriz regular.

Clasificar y resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el caso de discutir un sistema cuando alguno de sus coeficientes es un parámetro.

Conocer el concepto de espacio vectorial y manejar los ejemplos básicos: espacio n-dimensional sobre el cuerpo de los números reales, polinomios en una indeterminada sobre el cuerpo de los números reales y matrices de un orden determinado sobre un cuerpo.

Distinguir entre conjuntos de vectores linealmente independientes y dependientes.

Conocer bases de los espacios vectoriales usuales y cómo calcular coordenadas respecto de ellas.

Calcular las matrices de cambio de base entre dos bases dadas.

Distinguir aquellos subconjuntos que son subespacios y conocer las operaciones básicas sobre los mismos.

Calcular ecuaciones cartesianas y paramétricas de un subespacio.

Conocer el concepto de aplicación lineal y ejemplos presentes en otras disciplinas como la derivación y la integración de funciones.

Manejar la expresión matricial de una aplicación lineal para realizar el cálculo del núcleo y la imagen.

Resolver el problema de encontrar la matriz de una aplicación lineal respecto de bases distintas de las dadas.

Conocer las propiedades que distinguen a un producto escalar.

Manejar la expresión matricial de un producto escalar.

Aplicar el método de Gram-Schmidt para obtener bases ortogonales.

Calcular los valores propios y vectores propios correspondientes de una matriz cuadrada.

Determinar si una matriz cuadrada es diagonalizable por semejanza.

Ejecutar el proceso completo de diagonalización, encontrando la matriz diagonal y la matriz de paso.

Diagonalizar ortogonalmente una matriz simétrica.

Cálculo de inversas generalizadas y su aplicación a soluciones mínimo-cuadráticas de norma mínima.

Tema 1. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. Método de Gauss-Jordan. Matrices y operaciones elementales. Rango. Inversa de una matriz. Determinantes. Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Tema 2. Espacios vectoriales.
Definición y ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Bases y coordenadas. Cambio de base. Subespacios vectoriales: ecuaciones paramétricas y cartesianas.
Tema 3. Aplicaciones lineales.
Matriz asociada a una aplicación lineal. Núcleo e imagen. Matriz asociada y cambios de base. Autovectores y autovalores. Polinomio característico. Multiplicidad algebraica y geométrica. Potencias de una matriz diagonalizable.
Tema 4. Productos escalares, bases ortogonales.
Espacios vectoriales euclídeos. Norma y ángulo. Bases ortogonales y ortonormales. Método de Gram-Schmidt. Coeficientes de Fourier. Diagonalización por congruencia-semejanza de matrices simétricas reales.
Tema 5. Espacio afín euclídeo.
Espacio afín euclídeo. Posiciones relativas de variedades afines. Producto vectorial. Proyección ortogonal. Distancia entre variedades afines.
Tema 6. Inversa generalizada de Moore-Penrose.
Descomposición por valores singulares. Inversa generalizada de Moore-Penrose. Solución mínimo-cuadrática de norma mínima. Norma inducida de una matriz. Número de condición de una matriz.

Se realizarán ejercicios prácticos correspondientes a cada uno de los temas.

Se desarrollarán prácticas de ordenador que servirán como herramienta para la resolución y contraste de soluciones a problemas planteados en clase.

1. J. E. Gentle, Matrix Algebra. Theory, Computations, and Applications in Statistics. Springer (2008).
2. L. Merino, E. Santos, Álgebra lineal con métodos elementales, Thomson (2007).
3. E. Hernández, Álgebra y Geometría, Addison Wesley Iberoamericana, (1994).
4. I. Ojeda Martínez de Castilla, J. Gago Vargas, Métodos Matemáticos para estadística, Colección manuales UEX - 58 (2008).

1. Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications 3ed., Thomson Learning (1988).
2. Roger A. Horn, Matrix Analysis Cambridge University Press(1990).
3. Ruriko Yoshida, Linear Algebra and Its Applications with R, Chapman and Hall/CRC (2021).

Curso cero para matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Granada.

Guiones de los temas de la asignatura.

Ejercicios resueltos en Python.

Ejercicios resueltos en R.

Resolución de ejercicios tipo de L. Merino y E. Santos.

• MD01. MD1. Lección magistral/expositiva 
• MD02. MD2. Sesiones de discusión y debate 
• MD03. MD3. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
• MD04. MD4. Prácticas en sala de informática 
• MD05. MD5. Seminarios 
• MD06. MD6. Ejercicios de simulación 
• MD08. MD8. Realización de trabajos en grupo 
• MD09. MD9. Realización de trabajos individuales 

Todo lo relativo a la evaluación se regirá por la Normativa de evaluación y calificación de los estudiantes vigente en la Universidad de Granada. Preferentemente, la evaluación ordinaria se ajustará al sistema de evaluación continua del aprendizaje del estudiante siguiendo el artículo 7 de la anterior Normativa. De acuerdo al punto 7.4, "los resultados de las diferentes actividades en las que se base la evaluación del aprendizaje del estudiante se darán a conocer de forma paulatina a lo largo del curso y, en todo caso, se procurará comunicar con una antelación suficiente a la fecha prevista oficialmente por el Centro para el examen final".

En la convocatoria ordinaria, la calificación de cada alumno se obtendrá de:

1. un examen final con preguntas de carácter teórico y de resolución de problemas (60%),

2. pruebas de clase no eliminatorias o entrega de ejercicios resueltos (30%),

3. participación, actitud y esfuerzo personal en las actividades formativas (10%).

No obstante, si la ponderación de las calificaciones intermedias y la participación provocase una disminución de la calificación del alumno se optará por no incluirlas en el cálculo.

En la convocatoria extraordinaria, la evaluación consistirá en un examen general con preguntas de carácter teórico y de resolución de problemas.

Según la normativa vigente, la evaluación única final, entendiendo por tal la que se realiza en un solo acto académico, podrá incluir cuantas pruebas sean necesarias para acreditar que el estudiante ha adquirido la totalidad de las competencias descritas en la Guía Docente de la asignatura.

En el caso de la presente asignatura, la evaluación final única constará de una única prueba: examen final que conste de preguntas de carácter teórico y de resolución de problemas.

Python (https://www.python.org/)

Sagemath (https://www.sagemath.org/)

R (https://www.r-project.org/)

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